가우스 정수

Gaussian integer
'복소정수'라고도 한다.

두 정수 $a$, $b$ 에 대해서 $a + bi \left(i^2 = -1\right)$로 표현되는 수를 의미한다.

이름 그대로 카를 프리드리히 가우스가 연구하여 이 이름이 붙었다.

가우스 정수 전체의 집합은 기호로 보통 $\mathbb{Z}[i]$로 나타내고 이는 덧셈군, 그리고 곱셈에 대한 항등원 $1$을 가지는 가환환을 이룬다. 더 나아가서 $N(a+bi)=a²+b²$로 정의된 함수 $N:\mathbb{Z}[i]→\mathbb{Z}$를 유클리드 노름으로 가지는 정역(유클리드 정역, ED)이다. 유클리드 정역이기 때문에 주 아이디얼 정역(단항 이데알 정역, PID)이고 따라서 유일 인수분해 정역(UFD)이다.

이런 수들 중 절댓값이 $1$인 수($\pm 1$, $\pm i$)를 통틀어 단원(또는 가역원, unit)이라고 하며 보통 $\epsilon$로 표기한다. 사실 곱셈에 대한 항등원을 가지는 환에서 단원이란 곱셈에 대한 역원이 존재하는 원소를 말한다. 하지만 가우스 정수 집합에서는 앞서 말한 네 개 말고는 단원이 존재하지 않으므로 절댓값이 $1$인 수로 생각해도 무방. 두 가우스 정수 $\alpha$, $\beta$가 어떤 유닛 $\epsilon$에 대해 $\alpha =\epsilon \beta$로 나타낼 수 있는 경우에 $\alpha$, $\beta$는 연관되어 있다고 한다. (쉽게 말해 $a+bi$, $-b+ai$, $-a-bi$, $b-ai$는 서로 연관되어 있다) 물론 모든 가우스 정수는 자기 자신과 연관되어 있다.

정수와 마찬가지로 가우스 정수 범위에서도 소수 등을 정의할 수 있다. 단원을 제외한 두 개 이상의 가우스 정수의 곱으로 나타낼 수 없는 수를 '가우스 소수(Gaussian prime)'이라 부른다. 가우스 소수의 종류로는 $1+i$, $s\pm ti$[1], $4k+3$꼴 소수($p$)가 있으며, 어떤 수가 가우스 소수가 되는 것과 예시로 든 3가지 중 하나와 연관되어 있는 것과 동치이다.

다만 정수에서 $-2$, $-3$도 $\pm 1$을 제외한 두 개 이상의 정수의 곱으로 나타낼 수 없으므로 소수이지만, 보통 소수라고 하면 양의 소수를 우선적으로 보기 때문에 $-2$, $-3$은 소수를 다룰 때 끼워주지 않듯이, 가우스 정수 범위에서도 1사분면에 속한 수[2]들을 주로 사용한다.

모든 가우스 정수는 1사분면에 속한 가우스 소수들로 소인수분해하는 법이 단 한 가지이다. 다시 말해 가우스 정수 $\mu$를 $\epsilon \pi \kappa \rho \cdots$($\epsilon$는 unit, $\pi$, $\kappa$, $\rho$ 등은 1사분면에 속한 가우스 소수)와 같이 표기 가능한 $\pi$, $\kappa$, $\rho$,···의 쌍은 재배열을 한 가지로 취급하면 유일하게 결정된다. 이때 $\epsilon$도 유일하게 됨은 자명하다.

$x^2 - y^2 = \left(x + y\right)\left(x - y\right)$ 로 인수 분해되는 것과 마찬가지로. $x^2 + y^2 = \left(x + yi\right)\left(x - yi\right)$ 로 인수 분해될 수 있다. 예를 들어, 가우스 정수 체계에서는 $2 = \left(1+i\right)\left(1-i\right)$ 로 소인수분해될 수 있으며, 2 는 가우스 소수가 아니다.

가우스 소수의 분포를 복소평면에 나타내면 원점 대칭이 된다. 더 정확히는 정사각형 배치의 격자점이다.